题目内容
已知{an}满足a1=3，an+1=2an+1，
（1）求a2，a3，a4，a5；
（2）求证：{an+1}是等比数列；并求出an的表达式．
（1）求a2，a3，a4，a5；
（2）求证：{an+1}是等比数列；并求出an的表达式．
考点：等比数列的性质,数列递推式
专题：计算题,等差数列与等比数列
分析：（1）利用{an}满足a1=3，an+1=2an+1，即可求a2，a3，a4，a5；
（2）由an+1=2an+1，可得an+1+1=2an+2=2(an+1)，(n∈N*)，即可得出结论．
（2）由an+1=2an+1，可得an+1+1=2an+2=2(an+1)，(n∈N*)，即可得出结论．
解答：
（1）解：∵a1=3，∴a2=2a1+1=7，
同理，a3=15，a4=31，a5=63
（2）证明：∵an+1=2an+1，(n∈N*)，
∴an+1+1=2an+2=2(an+1)，(n∈N*)
又a1+1=4≠0
∴数列{an+1}是以4为首项，2为公比的等比数列
∴an+1=4×2n-1=2n+1an=2n+1-1，（n∈N*）
同理，a3=15，a4=31，a5=63
（2）证明：∵an+1=2an+1，(n∈N*)，
∴an+1+1=2an+2=2(an+1)，(n∈N*)
又a1+1=4≠0
∴数列{an+1}是以4为首项，2为公比的等比数列
∴an+1=4×2n-1=2n+1an=2n+1-1，（n∈N*）
点评：本题属于容易题，主要考查了递推公式的应用以及等比数列的定义和通项公式的求法．
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