Question

2．已知双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）上存在点P，满足P到y轴和到x轴的距离比为$\sqrt{3}$，则双曲线离心率的取值范围是（$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，+∞）．

Answer 1

分析 设P（x，y），由题意可得，|x|=$\sqrt{3}$|y|，即为y²=$\frac{1}{3}$x²，代入双曲线的方程，由双曲线的x的范围，结合离心率公式，即可得到所求范围．

解答 解：设P（x，y），
由题意可得，|x|=$\sqrt{3}$|y|，
即有x²=3y²，即y²=$\frac{1}{3}$x²，
∴$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{x}^{2}}{3{b}^{2}}$=1，
∴1≥a²（$\frac{1}{{a}^{2}}$-$\frac{1}{3{b}^{2}}$），且$\frac{1}{{a}^{2}}$-$\frac{1}{3{b}^{2}}$＞0，
∴3b²＞a²，
∴e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1+\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}$＞$\sqrt{1+\frac{1}{3}}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
故答案为：（$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，+∞）．

点评 本题考查双曲线的方程与性质，考查离心率的范围，注意运用双曲线的范围，考查计算能力，属于中档题．