Question

7．已知7cos²α-sinαcosα-1=0，α∈（$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$），求cos2α和$sin（{2α+\frac{π}{4}}）$的值．

Answer 1

分析 求解7cos²α-sinαcosα-1=0可得tanα的值，展开二倍角余弦后化弦为切可得cos2α；再由同角三角函数的基本关系式求得sin2α，然后展开两角和的正弦得$sin（{2α+\frac{π}{4}}）$的值．

解答 解：由7cos²α-sinαcosα-1=0，得6cos²α-sinαcosα-sin²α=0，
∵α∈（$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$），∴cosα≠0，则
∴tan²α+tanα-6=0，
解得：tanα=2或tanα=-3（舍）．
∴cos2α=$co{s}^{2}α-si{n}^{2}α=\frac{co{s}^{2}α-si{n}^{2}α}{co{s}^{2}α+si{n}^{2}α}$=$\frac{1-ta{n}^{2}α}{1+ta{n}^{2}α}$=$\frac{1-4}{1+4}=-\frac{3}{5}$．
sin2α=tan2α•cos2α=$\frac{2tanα}{1-ta{n}^{2}α}•cos2α$=$\frac{4}{5}$．
∴$sin（{2α+\frac{π}{4}}）$=sin2α•cos$\frac{π}{4}$+cos2α•sin$\frac{π}{4}$=$\frac{4}{5}×\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{3}{5}×\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{2}}{10}$．

点评 本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关系式的应用及两角和的正弦，是基础题．