Question

在平面直角坐标系中，直线的参数方程为：（为参数）．以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
（Ⅰ）求曲线的平面直角坐标方程；
（Ⅱ）设直线与曲线交于点，若点的坐标为，求的值．

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ）.

试题分析：（Ⅰ）直接根据极坐标方程与直角坐标的转换关系式结合三角函数中的两角和与差的三角函数公式即可实现将曲线的参数方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）先将直线的参数方程与曲线的直角坐标方程联立转化为含的一元二次方程，然后根据参数方程中的相关理论直接求的值.
试题解析：（Ⅰ）由，得，
当时，得，
对应直角坐标方程为：.
当，有实数解，说明曲线过极点，而方程所表示的曲线也过原点.
∴曲线的直角坐标方程为．　       3分
（Ⅱ）把直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程，得，
即，由于，故可设是上述方程的两实根，
则.      5分
∵直线过点，
∴由的几何意义，可得．    7分