Question

定义域为R的单调函数f（x），f（x+y）=f（x）+f（y），且f（3）=6；
（1）求f（0），f（1）的值；
（2）求f（x）=x²-2ax+1在[0，2]上的最大值．
（3）若不等式f（2x-1）+f（m-mx²）＞0对满足-2≤m≤2的所有m都成立，求x取值范围．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用

专题：函数的性质及应用

分析：（1）利用赋值法即可求f（0），f（1）的值；
（2）结合一元二次函数的性质即可求f（x）=x²-2ax+1在[0，2]上的最大值．
（3）利用函数的单调性将不等式f（2x-1）+f（m-mx²）＞0对满足-2≤m≤2的所有m都成立，进行转化即可求x取值范围．

解答： 解：（1）∵f（x+y）=f（x）+f（y），且f（3）=6，
∴令y=0，则f（x）=f（x）+f（0），
解得f（0）=0，
令x=y=1，则f（2）=f（1）+f（1）=2f（1），
则f（3）=f（1+2）=f（1）+f（2）=3f（1）=6，
则f（1）=2；
（2）f（x）=x²-2ax+1=（x-a）²+1-a²，则对称轴为x=a，
区间[0，2]的中点为x=1，
若a≥1，则函数f（x）的最大值为f（0）=1，
若a＜1，则函数f（x）的最大值为f（1）=2-2a．
（3）∵定义域为R的单调函数f（x），满足f（3）＞f（1）＞f（0），
∴函数f（x）在R上为增函数，
则不等式f（2x-1）+f（m-mx²）＞0等价为
f（2x-1+m-mx²）＞f（0）对满足-2≤m≤2的所有m都成立，
即2x-1+m-mx²＞0对满足-2≤m≤2的所有m都成立，
设g（m）=2x-1+m-mx²=（1-x²）m+2x-1，
则满足

g(2)=-2x2+2x+1＞0 g(-2)=2x2+2x-3＞0

，则

2x2-2x-1＜0 2x2+2x-3＞0

，
解得

1- 3 2 ＜x＜ 1+ 3 2 x＞ -1+ 7 2 或x＜ -1- 7 2

，
解得

-1+ 7

2

＜x＜

1+ 3

2

，
即x取值范围是

-1+ 7

2

＜x＜

1+ 3

2

．

点评：本题主要考查抽象函数的应用，利用赋值法是解集抽象函数的基本方法，利用函数的单调性以及以及转化变量法是解决本题的关键．