Question

某市环保部门对市中心每天环境污染情况进行调查研究，发现一天中环境污染指数f（x）与时刻x（时）的关系为f（x）=a|

x

x2+1

-a|+a+

16

9

，x∈[0，24]，其中a是与气象有关的参数，且a∈（0，

1

4

]，用每天f（x）的最大值作为当天的污染指数，记作M（a）．
（Ⅰ）令t=

x

x2+1

，x∈[0，24]，求t的取值范围；
（Ⅱ）按规定，每天的污染指数不得超过2，问目前市中心的污染指数是否超标？

Answer 1

考点：函数模型的选择与应用

专题：应用题,函数的性质及应用

分析：（Ⅰ）利用取倒数，求导数，确定函数的单调性，可得t的取值范围；
（Ⅱ）分段求出每天的综合放射性污染指数不超过2时a的范围，即可得到结论．

解答： 解：（Ⅰ）当x=0时，t=0；
当0＜x≤24时，

1

t

=x+

1

x

．
对于函数y=x+

1

x

，∵y′=1-

1

x2

，
∴当0＜x＜1时，y′＜0，函数y=x+

1

x

单调递减，当1＜x≤24时，y′＞0，函数y=x+

1

x

单调递增，
∴y∈[2，+∞）．
综上，t的取值范围是[0，

1

2

]；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知t的取值范围是[0，

1

2

]；
当a∈（0，

1

2

]时，记g（t）=|t-a|+a+

16

9

，则g（t）=

-at+a2+a+ 16 9 ，0≤t＜a at-a2+a+ 16 9 ，a≤t≤ 1 2

∵g（t）在[0，a]上单调递减，在（a，

1

2

]上单调递增，
∴g（t）的最大值只可能在t=0或t=

1

2

时取得．
从而M（a）=g（

1

2

）=-a²+

3

2

a+

16

9

．
由

0＜a≤ 1 4 -a2+ 3 2 a+ 16 9 ≤2

，解得0＜a≤

1

6

，
∴a∈（0，

1

6

]时，污染指数不超标；a∈（

1

6

，

1

4

]时，污染指数超标．

点评：本题主要考查了函数模型的选择与应用及分类讨论的思想，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．