Question

13．已知函数f（x）=-$\frac{1}{2}sin（2x-\frac{π}{6}）$
（1）求f（x）的单调区间
（2）当x∈$[-\frac{π}{12}，\frac{2π}{3}]$，求f（x）的最值及对应x的值．

Answer 1

分析 （1）将内层函数看作整体，放到正弦函数的增（减）区间上，解不等式得函数的单调递减（增）区间；
（2）当x∈$[-\frac{π}{12}，\frac{2π}{3}]$时，求出内层函数的取值范围，结合三角函数的图象和性质，求出f（x）的最大值和最小值及对应x的值．

解答 解：（1）函数f（x）=-$\frac{1}{2}sin（2x-\frac{π}{6}）$，
令$-\frac{π}{2}+2kπ≤$$2x-\frac{π}{6}$$≤\frac{π}{2}+2kπ$，k∈Z．
得：$-\frac{π}{6}+kπ$≤x≤$\frac{π}{6}+kπ$，
∴函数的单调递减区间为[$-\frac{π}{6}+kπ$，$\frac{π}{6}+kπ$]，k∈Z．
令$\frac{π}{2}+2kπ≤$$2x-\frac{π}{6}$$≤\frac{3π}{2}+2kπ$，k∈Z．
得：$\frac{π}{6}+kπ$≤x≤$\frac{5π}{6}+kπ$，
∴函数的单调递减区间为[$\frac{π}{6}+kπ$，$\frac{5π}{6}+kπ$]，k∈Z．
（2）当x∈$[-\frac{π}{12}，\frac{2π}{3}]$时，
可得：$2x-\frac{π}{6}$∈[$-\frac{π}{3}$，$\frac{7π}{6}$]．
∴当$2x-\frac{π}{6}$=$-\frac{π}{3}$时，f（x）取得最大值为$-\frac{1}{2}×（-\frac{\sqrt{3}}{2}）$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$．
此时x=$-\frac{π}{12}$．
当$2x-\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$时，f（x）取得最小值为$-\frac{1}{2}×1=-\frac{1}{2}$．
此时x=$\frac{5π}{12}$．

点评 本题主要考查三角函数的图象和性质的运用，属于基础题．