Question

【题目】设椭圆的离心率为，左顶点到直线的距离为．

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）设直线与椭圆C相交于A、B两点，若以AB为直径的圆经过坐标原点O，试探究：点O到直线AB的距离是否为定值？若是，求出这个定值；否则，请说明理由；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，试求△AOB面积S的最小值．

Answer 1

【答案】（1）（2）见解析；（3）

【解析】

（Ⅰ）由已知，根据点到直线的距离公式，求解，再由椭圆的离心率，求得，进而可求得椭圆的方程；

（Ⅱ）法一：设，，①当直线l的斜率不存在时，求得点O到直线AB的距离为定值；②当直线l的斜率存在时，设其方程为联立方程组，根据根与系数的关系和题设条件，化简得，进而求得点O到直线AB的距离为定值.

法二：设直线方程为，联立方程组，利用根与系数的关系和题设条件，化简得，进而得到点O到直线AB的距离为定值；

（Ⅲ）法一：当直线OA、直线OB斜率存在且不为0时，设直线OA的斜率为k，联立方程组，进而求得面积的表达式，利用基本不等式，即可求解面积的最小值；

法二：由（Ⅱ），①当直线l的斜率不存在时，，②当直线l的斜率存在时，得出面积的表示，利用基本不等式求得最小值，即可得到答案.

（Ⅰ）由已知，）

因为故所求椭圆的方程为;

（Ⅱ）法一：设，，

①当直线l的斜率不存在时，由椭圆对称性知，，因为以AB为直径的圆经过坐标原点O，故，即

又因为点在椭圆上，故，解得，

此时点O到直线AB的距离为

②当直线l的斜率存在时，设其方程为．

联立得：

所以，

由已知，以AB为直径的圆经过坐标原点O，则，且

故

化简得，

故点O到直线AB的距离为综上，点O到直线AB的距离为定值

法二：（若设直线方程为，也要对直线斜率为0进行讨论）

设，

①当直线l的斜率为0时，由椭圆对称性知x1=-x2，y1=y2，因为以AB为直径的圆经过坐标原点O，故，即

又因为点在椭圆上，故，解得，

此时点O到直线AB的距离为

②当直线l的斜率不为0，或斜率不存在时，设其方程为．

联立得：

所以，

故，

即,所以,

所以,

化简得，故点O到直线AB的距离为

综上，点O到直线AB的距离为定值

（Ⅲ）法一：当直线OA、直线OB中有一条斜率不存在，另一条斜率为0时，易知S=1;

当直线OA、直线OB斜率存在且不为0时，设直线OA的斜率为k，

则直线OB的斜率为，由得，

同理故

令，则

故综上，△AOB面积S的最小值为．

法二：由（Ⅱ），①当直线l的斜率不存在时，，

②当直线l的斜率存在时，，且点O到直线AB的距离为，

故，

令，则，

因为，故．综上，△AOB面积S的最小值为．