Question

【题目】2017年是某市大力推进居民生活垃圾分类的关键一年，有关部门为宣传垃圾分类知识，面向该市市民进行了一次“垃圾分类知识”的网络问卷调查，每位市民仅有一次参与机会，通过抽样，得到参与问卷调查中的1000人的得分数据，其频率分布直方图如图所示：

（1）估计该组数据的中位数、众数；

（2）由频率分布直方图可以认为，此次问卷调查的得分服从正态分布， 近似为这1000人得分的平均值（同一组数据用该区间的中点值作代表），利用该正态分布，求；

（3）在（2）的条件下，有关部门为此次参加问卷调查的市民制定如下奖励方案：

（ⅰ）得分不低于可获赠2次随机话费，得分低于则只有1次；

（ⅱ）每次赠送的随机话费和对应概率如下：

现有一位市民要参加此次问卷调查，记 (单位：元）为该市民参加问卷调查获赠的话费，求的分布列和数学期望.

附： ，

若，则， .

Answer 1

【答案】（1）中位数为，众数为65.（2）（3），分布列见解析

【解析】试题分析：（1）由频率分布直方图可估计该组数据的中位数、众数；

（2）利用加权平均数公式计算平均值；再根据正态分布的性质求；

（3）设得分不低于分的概率为，则，则的取值为10，20，30，40，利用相互独立事件的概率公式计算各个概率，得到的分布列和数学期望.．

试题解析：（1）由 ，得，设中位数为，由 ，解得，由频率分布直方图可知众数为65.

（2）从这1000人问卷调查得到的平均值为

因为由于得分服从正态分布，

所以 .

（3）设得分不低于分的概率为，则，

的取值为10，20，30，40，

， ，

， ，

所以的分布列为：

所以.