Question

【题目】已知椭圆：（）的离心率为，短轴端点到焦点的距离为.

（1）求椭圆的方程；

（2）设，为椭圆上任意两点，为坐标原点，且.求证：原点到直线的距离为定值，并求出该定值.

Answer 1

【答案】（1）.（2）见解析.

【解析】试题分析：（1）根据题意，将离心率公式与短轴端点到焦点的距离公式联立，可求得的值，从而可得椭圆的标准方程；（2）分为两种情况，一种为直线不存在斜率，很容易得出结果，一种为存在斜率，则设直线方程为，并设与椭圆方程联立可得根与系数的关系，然后再根据，利用韦达定理及平面向量数量积公式可得与的关系，进而可知原点到直线的距离为定值.

试题解析：（1）由题意知，，，又，

所以，，

所以椭圆的方程为.

（2）证明：当直线的斜率不存在时，直线的方程为.

此时，原点到直线的距离为.

当直线的斜率存在时，设直线的方程为，，.

由得

则，

，

则，由得，即，

所以，即，

所以原点到直线的距离为

综上，原点到直线的距离为定值.