Question

已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c若A，B，C成等差数列，b=2，记角A=x，a+c=f（x）．
（1）当f（x）取最大值时，求△ABC的面积；
（2）若f(x-

π

6

)=

12

5

，求sin2x的值．

Answer 1

考点：正弦定理

专题：三角函数的图像与性质,解三角形

分析：（1）根据等差中项和内角和定理求出A和A+C，根据正弦定理求出a+c表达式，再利用两角和差的正弦公式化简，
求出f（x）并根据正弦函数的性质，求出f（x）取最大值时对应的角A，判断出三角形的形状，并求出此时三角形的面积值；
（2）将f(x-

π

6

)=

12

5

代入f（x）化简，求出sinx的值，根据平方关系求出cosx的值，并根据角的范围进行取舍，利用二倍角的正弦公式求出sin2x的值．

解答： 解：（1）由A，B，C成等差数列得，2B=A+C，
因为A+B+C=π，所以B=

π

3

，A+C=

2π

3

，
又b=2，由正弦定理得，

a

sinA

=

c

sinC

=

b

sinB

=

2

sin π 3

=

4 3

3

，
所以a+c=

4 3

3

（sinA+sinC）=

4 3

3

[sinA+sin（

2π

3

-A）]
=

4 3

3

(sinA+sin

2π

3

cosA-cos

2π

3

sinA)
=2

3

sinA+2cosA=4sin(A+

π

6

)，
即f(x)=4sin(x+

π

6

)．
当A=

π

3

时，f（x）取最大值，此时三角形是正三角形，
所以S=

1

2

acsinB=

1

2

×2×2×

3

2

=

3

；
（2）由（1）得，f(x)=4sin(x+

π

6

)，
所以f(x-

π

6

)=4sin(x-

π

6

+

π

6

)=

12

5

，得sinx=

3

5

，
则cosx=±

1-sin2x

=±

4

5

，
若cosx=-

4

5

，此时由-

4

5

＜-

2

2

知x＞

3π

4

，这与A+C=

2π

3

矛盾，
所以x为锐角，故cosx=

4

5

，
则sin2x=2sinxcosx=2×

3

5

×

4

5

=

24

25

．

点评：本题考查正弦定理，等差中项和内角和定理，三角恒等变换公式，以及正弦函数的性质，属于中档题．