Question

设点P是椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）与圆x²+y²=3b²的一个交点，F₁，F₂分别是椭圆的左、右焦点，且|PF₁|=3|PF₂|，则椭圆的离心率为

 

．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：根据已知条件容易判断出P点在y轴的右侧，所以联立椭圆与圆的方程可求出P点坐标，根据椭圆的定义及条件|PF₁|=3|PF₂|可得到|PF2|=

a

2

，所以根据两点间的距离公式即可得到关于a，b的方程，通过解方程可得到a，b的关系式：a=2

2

b，所以可得到a，c的关系式：7a²=8c²，从而求出离心率

c

a

．

解答： 解：根据已知条件知P点在y轴右侧；
由

x2 a2 + y2 b2 =1 x2+y2=3b2

得，

x= 2 ab c y=± b 3c2-2a2 c

；
∵|PF₁|+|PF₂|=2a，∴由|PF₁|=3|PF₂|得，|PF2|=

a

2

；
∴|PF2|2=

a2

4

，F₂（c，0）；
∴(

2 ab

c

-c)2+

b2(3c2-2a2)

c2

=

a2

4

，整理得：a=2

2

b，或a=

2 2

3

b（舍去）；
∴a²=8b²=8a²-8c²；
∴7a²=8c²；
∴

c

a

=

14

4

．
故答案为：

14

4

．

点评：考查椭圆的标准方程，椭圆的焦点，以及椭圆的定义，两点间距离公式，离心率的定义．