Question

对于以下结论：
①若y=f（x）是奇函数，则f（0）=0；
②已知p：事件A、B是对立事件，q：事件A、B是互斥事件，则p是q的必要但不充分条件；
③

ln5

5

＜

ln3

3

＜

1

e

（e为自然对数的底数）；
④若

a

=（1，2），

b

=（0，-1），则

b

在

a

上的投影为

2 5

5

；
⑤若随机变量ξ～N（1，4），则P（ξ≤1）=

1

2

．
其中，正确结论的序号为

 

．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：综合题,简易逻辑

分析：当函数是一个奇函数时，在原点处有定义，只有在原点处有定义时函数值才等于0，①错误；根据互斥事件和对立事件的概念判断②；对于③，令函数f（x）=

lnx

x

，由导数判断函数在x＞e时为减函数，由此得到命题③的真假；对于④，由向量数量积的几何意义求解

b

在

a

上的投影判断④；⑤随机变量ξ～N（1，4），图象关于x=1对称，可得P（ξ≤1）=

1

2

．

解答： 解：当函数是一个奇函数时，在原点处有定义，在原点处的函数值一定等于0，若无定义，则不成立，故①不正确；
对于②，事件A、B是对立事件，则A、B一定是互斥事件，反之，A、B是互斥事件，但A、B不一定是对立事件，∴p是q的充分但不必要条件，命题②错误；
对于③，令函数f（x）=

lnx

x

，则f′(x)=

1-lnx

x2

，当x≥e时，f′（x）≤0，∴函数f（x）=

lnx

x

为减函数，命题③正确；
对于④，∵

a

=（1，2），

b

=（0，-1），∴

b

在

a

上的投影为-

2 5

5

．命题④不正确；
⑤随机变量ξ～N（1，4），图象关于x=1对称，则P（ξ≤1）=

1

2

，正确．
故答案为：③⑤．

点评：本题考查命题的真假判断与应用，综合考查了函数的性质、及单调性的判断，考查了向量数量积的几何意义，考查了互斥事件与对立事件的关系，是中档题．