Question

9．若直线ax+by=1与圆x²+y²=1相切，则该直线与坐标轴所围成的三角形的面积的最小值等于（　　）

• A． $\frac{3}{2}$
• B． 1
• C． $\frac{1}{2}$
• D． $\frac{1}{4}$

Answer 1

分析 根据直线与圆相切圆心到直线的距离d=r，得出a²+b²=1；再求直线与两坐标轴的交点坐标，计算直线与两坐标轴所围成的三角形面积，利用基本不等式求出三角形面积的最小值．

解答 解：直线ax+by=1与圆x²+y²=1相切，则圆心O（0，0）到直线的距离为d=r，
即$\frac{|-1|}{\sqrt{{a}^{2}{+b}^{2}}}$=1，
∴a²+b²=1；
又直线ax+by=1与两坐标轴的交点坐标分别是A（$\frac{1}{a}$，0），B（0，$\frac{1}{b}$），
∴直线与两坐标轴所围成的三角形的面积是：
S_△AOB=$\frac{1}{2}$•|OA|•|OB|=$\frac{1}{2|a||b|}$，
又a²+b²≥2|a||b|，
∴$\frac{1}{2|a||b|}$≥$\frac{1}{{a}^{2}{+b}^{2}}$=1，当且仅当|a|=|b|时取“=”，
即直线ax+by=1与两坐标轴所围成的三角形面积最小值是1．
故选：B．

点评 本题考查了直线与圆位置关系的应用问题，也考查了利用基本不等式求最值的应用问题，是中档题．