Question

在直角坐标系内，点A（x，y）实施变换f后，对应点为A₁（y，x），给出以下命题：
①圆x²+y²=r²（r≠0）上任意一点实施变换f后，对应点的轨迹仍是圆x²+y²=r²（r≠0）；
②若直线y=kx+b上每一点实施变换f后，对应点的轨迹方程仍是y=kx+b，则k=-1；
③椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）上每一点实施变换f后，对应点的轨迹仍是离心率不变的椭圆；
④曲线C：y=-x²+2x-1（x＞0）上每一点实施变换f后，对应点的轨迹是曲线C₁，M是曲线C上的任意一点，N是曲线C₁上的任意一点，则|MN|的最小值为

3 2

4

．
以上正确命题的序号是

 

（写出全部正确命题的序号）．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：简易逻辑

分析：本题的关键是理解点A（x，y）实施变换f后，对应点为A₁（y，x）这一变换过程，针对每一个方程给出变换后的正确方程．

解答： 解：①圆x²+y²=r²（r≠0）上任意一点实施变换f后
显然互换x，y后，对应点的轨迹仍是圆x²+y²=r²（r≠0）；
∴①正确
②若直线y=kx+b上每一点实施变换f后
互换x，y后，对应点的轨迹方程：x=ky+b，若应点的轨迹方程仍是y=kx+b
那么k=±1且b=0
③椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）上每一点实施变换f后，
对应点的轨迹：

y2

a2

+

x2

b2

=1（a＞b＞0）
那么对应点的轨迹仍是离心率不变的椭圆，故③正确
④曲线C：y=-x²+2x-1（x＞0）上每一点实施变换f后，对应点的轨迹是曲线C₁：
x=-y²+2y-1（x＞0）
将y=x向下平移

3

4

个单位得到直线y=x-

3

4

，那么直线y=x-

3

4

与y=-x²+2x-1（x＞0）相切，
那么y=x与直线y=x-

3

4

的距离是

3 2

8

，利用对称性可知，则|MN|的最小值为

3 2

4

．
故④正确
故答案为：①③④

点评：本题考查的是学生的创新能力，是一道高考常见的题型．