Question

在△ABC中，三个内角A、B、C的对应边为a、b、c，B=

π

3

．
（Ⅰ）当A=

π

4

时，求sinC的值；
（Ⅱ）设f（A）=sinA+sin（

2π

3

-A），求f（A）的最大值．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用

专题：三角函数的求值

分析：（Ⅰ）根据A，B的值可确定C=

5π

12

．再利用两角的和的公式即可求出sinC的值；
（Ⅱ）首先利用三角函数的性质化简f（A）=sinA+sin（

2π

3

-A），再利用三角函数的单调性即可确定f（A）的最大值．

解答： 解：（Ⅰ）∵B=

π

3

，A=

π

4

，
∴C=

5π

12

．
∴sinC=sin

5π

12

=sin(

π

4

+

π

6

)
=sin

π

4

•cos

π

6

+sin

π

6

•cos

π

4

=

2

2

•

3

2

+

1

2

•

2

2

=

6 + 2

4

．
（Ⅱ）f（A）=sinA+sin（

2π

3

-A）
=sinA+sin

2π

3

•cosA-sinA•cos

2π

3

=sinA+

3

2

cosA+

1

2

sinA
=

3

2

sinA+

3

2

cosA
=

3

(

3

2

sinA+

1

2

cosA)
=

3

(cos

π

6

•sinA+sin

π

6

•cosA)
=

3

sin(A+

π

6

)．
∵A是三角形内角，B=

π

3

，
∴0＜A＜

2π

3

．
∴

π

6

＜A+

π

6

＜

5π

6

．
∴

1

2

＜sin(A+

π

6

)≤1．
即 

3

2

＜f(A)≤

3

．
∴当A=

π

3

时，f（A）取最大值．
最大值为

3

．

点评：本题考查三角函数的恒等变换，以及利用三角函数的单调性求函数的最值问题．属于中档题．