题目内容
17．对于以下四个命题：①若函数f（x）=logax（a＞0，a≠1）在其定义域内是减函数，则loga2＜0；
②设函数f（x）=2x+$\frac{1}{2x}$-1（x＜0），则函数f（x）有最小值1；
③若向量$\overrightarrow a=（1，k）$，$\overrightarrow b=（-2，6）$，$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow{b}$，则k=-3；
④函数y=（sinx+cosx）2-1的最小正周期是2π．
其中正确命题的序号是①③．
分析 利用对数函数的性质求出a的范围，进一步结合对数函数的性质判断①；利用基本不等式求得函数的最大值，判定函数无最小值判断②；利用向量共线的坐标表示求出k的值判断③；直接求出函数的周期判断④．
解答 解：对于①，若函数f（x）=logax（a＞0，a≠1）在其定义域内是减函数，则0＜a＜1，∴loga2＜0，故①正确；
对于②，函数f（x）=2x+$\frac{1}{2x}$-1（x＜0）=-[（-2x）+（$\frac{1}{-2x}$）]-1$≤-2\sqrt{（-2x）•\frac{1}{-2x}}-1=-3$，当且仅当x=-$\frac{1}{2}$时取“=”，
∴函数f（x）有最大值-3，无最小值，故②错误；
对于③，若向量$\overrightarrow a=（1，k）$，$\overrightarrow b=（-2，6）$，且$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow{b}$，则1×6+2k=0，解得k=-3，故③正确；
对于④，函数y=（sinx+cosx）2-1=1+2sinxcosx-1=sin2x，其最小正周期是π，故④错误．
∴正确命题的序号是①③．
故答案为：①③．
点评 本题考查命题的真假判断与应用，考查函数的性质，训练了函数的最值及周期的求法，是中档题．
练习册系列答案
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8．
已知F1，F2分别是双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a，b＞0）的左、右焦点，l1，l2为双曲线的两条渐近线．设过点M（b，0）且平行于l1的直线交l2于点P．若PF1⊥PF2，则该双曲线的离心率为（ ）
已知F1，F2分别是双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a，b＞0）的左、右焦点，l1，l2为双曲线的两条渐近线．设过点M（b，0）且平行于l1的直线交l2于点P．若PF1⊥PF2，则该双曲线的离心率为（ ）| A． | $\sqrt{3}$ | B． | $\sqrt{5}$ | C． | $\frac{\sqrt{14-2\sqrt{41}}}{2}$ | D． | $\frac{\sqrt{14+2\sqrt{41}}}{2}$ |
如图所示，AD∥BC∥EF，平面ADFE⊥平面BCFE，AE⊥EF，BE⊥EF，AD=AE=BE=2，EF=3，BC=4，G为BC的中点．