下列说法:①扇形的周长为8cm.面积为4cm2.则扇形的圆心角弧度数为1rad,②函数f的最大值为$\sqrt{2}$,③若α是第三象限角.则$y=\frac{{|{sin\frac{α}{2}}|}}{{sin\frac{α}{2}}}+\frac{{|{cos\frac{α}{2}}|}}{{cos\frac{α}{2}}}$的值为0或-2,④若sinα=sinβ则α与β的� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

5．下列说法：
①扇形的周长为8cm，面积为4cm²，则扇形的圆心角弧度数为1rad；
②函数f（x）=2cosx（sinx+cosx）的最大值为$\sqrt{2}$；
③若α是第三象限角，则$y=\frac{{|{sin\frac{α}{2}}|}}{{sin\frac{α}{2}}}+\frac{{|{cos\frac{α}{2}}|}}{{cos\frac{α}{2}}}$的值为0或-2；
④若sinα=sinβ则α与β的终边相同；
⑤函数$f（x）=\left\{\begin{array}{l}0，x为有理数\\ 1，x为无理数\end{array}\right.$为周期函数；
其中正确的是⑤（写出所有正确答案）．

分析设出扇形所在圆的半径为r，圆心角为α，由题意列式求出α判断①；直接求出函数f（x）=2cosx（sinx+cosx）的最大值判断②；利用三角函数的化简求值求得$y=\frac{{|{sin\frac{α}{2}}|}}{{sin\frac{α}{2}}}+\frac{{|{cos\frac{α}{2}}|}}{{cos\frac{α}{2}}}$的值判断③；由sinα=sinβ得到α与β的关系判断④；利用周期函数的概念判断⑤．

解答解：①设扇形所在圆的半径为r，圆心角为α，则由题意知：$αγ+2γ=8，\frac{1}{2}α{γ}^{2}=4$，解得r=2，α=2，故①错误；
②函数f（x）=2cosx（sinx+cosx）=sin2x+2cos²x=sin2x+cos2x+1=$\sqrt{2}sin（2x+\frac{π}{4}）+1$，其最大值为$\sqrt{2}$+1，故②错误；
③若α是第三象限角，则$π+2kπ＜α＜\frac{3π}{2}+2kπ$，∴$\frac{π}{2}+kπ＜\frac{α}{2}＜\frac{3π}{4}+kπ，k∈Z$．
则$y=\frac{{|{sin\frac{α}{2}}|}}{{sin\frac{α}{2}}}+\frac{{|{cos\frac{α}{2}}|}}{{cos\frac{α}{2}}}$=0，故③错误；
④若sinα=sinβ，则α与β的终边相同或关于y轴对称，故④错误；
⑤任何一个非零有理数都是函数$f（x）=\left\{\begin{array}{l}0，x为有理数\\ 1，x为无理数\end{array}\right.$的周期，故⑤正确．
故答案为：⑤．

点评本题考查命题的真假判断与应用，考查了扇形的弧长和面积公式，考查三角函数最值的求法，训练了周期函数的判定方法，是中档题．

练习册系列答案

	A．	S中没有人认识S中所有的人		B．	S中至多有2人认识S中所有的人
	C．	S中至多有2人不认识S中所有的人		D．	S中至少有1人认识S中的所有人

16．水平放置的矩形ABCD，长AB=4，宽BC=2，以AB、AD为轴作出斜二测直观图A′B′C′D′，则四边形A′B′C′D′的面积为（　　）

13．已知函数$f（x）=\sqrt{3}sin（π-x）cos（-x）+sin（π+x）cos（\frac{π}{2}-x）$图象上的一个最低点为A，离A最近的两个最高点分别为B与C，则$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=（　　）