题目内容
8．
已知F1，F2分别是双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a，b＞0）的左、右焦点，l1，l2为双曲线的两条渐近线．设过点M（b，0）且平行于l1的直线交l2于点P．若PF1⊥PF2，则该双曲线的离心率为（ ）| A． | $\sqrt{3}$ | B． | $\sqrt{5}$ | C． | $\frac{\sqrt{14-2\sqrt{41}}}{2}$ | D． | $\frac{\sqrt{14+2\sqrt{41}}}{2}$ |
分析 通过联立双曲线的渐近线为：y=$\frac{b}{a}$x，直线PM的方程为：y=-$\frac{b}{a}$（x-b），求出P的坐标，再利用PF1⊥PF2，建立方程，即可求出该双曲线的离心率．
解答 解：根据题意可得F1（-c，0）、F2（c，0），
双曲线的渐近线为：y=$\frac{b}{a}$x，直线PM的方程为：y=-$\frac{b}{a}$（x-b），
联立，可得x=$\frac{b}{2}$，
∴P（$\frac{b}{2}$，$\frac{{b}^{2}}{2a}$）
∴$\overrightarrow{{F}_{1}P}$=（$\frac{b}{2}$+c，$\frac{{b}^{2}}{2a}$），$\overrightarrow{{F}_{2}P}$=（$\frac{b}{2}$-c，$\frac{{b}^{2}}{2a}$）
∵PF1⊥PF2，
∴$\overrightarrow{{F}_{1}P}$•$\overrightarrow{{F}_{2}P}$=0，
∴（$\frac{b}{2}$+c，$\frac{{b}^{2}}{2a}$）•（$\frac{b}{2}$-c，$\frac{{b}^{2}}{2a}$）=0
∴$\frac{{b}^{2}}{4}-{c}^{2}+\frac{{b}^{4}}{4{a}^{2}}$=0
∴b2=4a2，
∴c2=5a2，
∴e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{5}$，
故选：B．
点评 本题考查求双曲线的离心率，考查计算能力，注意解题方法的积累，属于中档题．
练习册系列答案
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| A． | $\frac{\sqrt{10}}{2}$ | B． | $\frac{\sqrt{6}}{2}$ | C． | $\frac{5}{2}$ | D． | $\frac{3}{2}$ |
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| A． | f（sinα）＞f（cosβ） | B． | f（sinα）＜f（cosβ） | C． | f（sinα）＞f（sinβ） | D． | f（cosα）＞f（cosβ） |
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| A． | $9+\frac{π^2}{9}$ | B． | $9-\frac{π^2}{9}$ | C． | $4+\frac{π^2}{4}$ | D． | $4-\frac{π^2}{4}$ |