Question

20．设函数f（x）=alnx+$\frac{{2{a^2}}}{x}$（a≠0），g（x）=3-x．
（1）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）当a=1时，设F（x）=f（x）-g（x），求证：对于定义域内的任意一个，都有F（x）≥0．
（3）讨论函数f（x）的单调性．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，计算f（1），f′（1）的值，求出切线方程即可；
（2）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而证明结论；
（3）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可．

解答 解：（1）∵a=1时，f（x）=lnx+$\frac{2}{x}$（a≠0），
∴f′（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{2}{{x}^{2}}$，
∴f（1）=2，f′（1）=-1，
故切线方程是：y-2=-（x-1），
整理得：x+y-3=0；
（2）由（1）知，f（x）=lnx+$\frac{2}{x}$，
F（x）=f（x）-g（x），则f（x）=lnx+$\frac{2}{x}$+x-3，
∴F′（x）=$\frac{（x-1）（x+2）}{{x}^{2}}$，x＞0，
当x变化时，g′（x），g（x）的变化如下表：

x	（0，1）	1	（1，+∞）
F′（x）	-	0	+
F（x）	↓	极小值	↑

∴x=1是F（x）在（0，+∞）上的唯一极值点，且是极小值点，
从而也是F（x）的最小值点，
∴F（x）≥F（1）=ln1+2+1-3=0，
∴F（x）≥0．
（3）f′（x）=$\frac{a}{x}$-$\frac{{2a}^{2}}{{x}^{2}}$=$\frac{a（x-2a）}{{x}^{2}}$，
①当a＜0时，∵x＞0，∴x-2a＞0，a（x-2a）＜0，
∴f′（x）＜0，故函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；
②当a＞0时，若0＜x＜2a，则a（x-2a）＜0，f′（x）＜0，
函数f（x）在（0，2a）上单调递减；
若x＞2a，则a（x-2a）＞0，f′（x）＞0，函数在（2a，+∞）上单调递增．
综上所述，当a＜0时，函数f（x）在（0，+∞）上单调递减；
当a＞0时，函数f（x）在（0，2a）上单调递减，在（2a，+∞）上单调递增．

点评 本题考查了切线方程问题，考查函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，是一道中档题．