Question

11．已知空间四边形ABCD中，AB=BD=AD=2，BC=1，$CD=\sqrt{3}$，若平面ABD⊥平面BCD，则该几何体的外接球表面积为$\frac{16π}{3}$．

Answer 1

分析 △ABD和△BCD的形状寻找截面圆心位置，从而得出球心位置．计算外接球的半径即可得出面积．

解答 解：∵空间四边形ABCD中，AB=BD=AD=2，∴△ABD是正三角形；
又BC=1，$CD=\sqrt{3}$，∴△BCD是直角三角形；
取BD的中点M，连接CM，则AM⊥BD，
又平面ABD⊥平面BCD，∴AM⊥平面BCD，
∴棱锥外接球的球心为△ABD的中心，
∵AM=$\sqrt{A{B}^{2}-B{M}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
∴该四棱锥A-BCD的外接球的半径为$\frac{2}{3}AM$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴几何体外接球的表面积S=4π（$\frac{2\sqrt{3}}{3}$）²=$\frac{16π}{3}$．
故答案为：$\frac{16π}{3}$．

点评 本题考查了棱锥与外接球的位置关系，属于中档题．