Question

如图，四棱柱ABCD－A₁B₁C₁D₁的底面ABCD是正方形，O为底面中心，A₁O⊥底面ABCD，AB＝AA₁＝.

(1)证明：平面A₁BD∥平面CD₁B₁；

(2)求三棱柱ABD－A₁B₁D₁的体积．

Answer 1

[解析]　(1)由题设知，BB₁綊DD₁，

∴BB₁D₁D是平行四边形，

∴BD∥B₁D₁.

又BD平面CD₁B₁，

∴BD∥平面CD₁B₁.

∵A₁D₁綊B₁C₁綊BC，

∴A₁BCD₁是平行四边形，

∴A₁B∥D₁C.又A₁B平面CD₁B₁，

∴A₁B∥平面CD₁B₁.

又∵BD∩A₁B＝B，

∴平面A₁BD∥平面CD₁B₁.

(2)∵A₁O⊥平面ABCD，

∴A₁O是三棱柱ABD－A₁B₁D₁的高．

又∵AO＝AC＝1，AA₁＝，

∴A₁O＝＝1.

又∵S_△ABD＝××＝1，

∴V三棱柱ABD－A₁B₁D₁＝S_△ABD×A₁O＝1.