Question

如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，已知AB＝3，AD＝2，PA＝2，PD＝2，∠PAB＝60°.M是PD的中点．

(1)证明：PB∥平面MAC；

(2)证明：平面PAB⊥平面ABCD；

(3)求四棱锥P－ABCD的体积．

Answer 1

[解析]　(1)证明：连接OM.

∵M是PD中点，矩形ABCD中O为BD中点，

∴OM∥PB.

又OM平面MAC，PB⃘平面MAC，

∴PB∥平面MAC.

(2)证明：由题设知PA＝2，AD＝2，PD＝2，

有PA²＋AD²＝PD²，∴AD⊥PA.

在矩形ABCD中，AD⊥AB.

又PA∩AB＝A，∴AD⊥平面PAB.

∵AD平面ABCD，

∴平面PAB⊥平面ABCD.

(3)解：过点P作PH⊥AB于点H.

∵平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD＝AB，

∴PH⊥平面ABCD.

在Rt△PHA中，PH＝PAsin60°＝2×＝，

V_P－ABCD＝AB×AD×PH＝×3×2×＝2.