题目内容
已知函数f（x）=
，下列命题：其中所有正确的命题的序号是（ ）
①函数f（x）的零点为1；
②函数f（x）的图象关于原点对称；
③函数f（x）在其定义域内是减函数；
④函数f（x）的值域为（-∞，-1）∪（1，+∞）．
| ex+e-x |
| ex-e-x |
①函数f（x）的零点为1；
②函数f（x）的图象关于原点对称；
③函数f（x）在其定义域内是减函数；
④函数f（x）的值域为（-∞，-1）∪（1，+∞）．
| A、①② | B、②③ | C、②④ | D、③④ |
考点：命题的真假判断与应用
专题：函数的性质及应用
分析：①令f（x）=0，由指数函数的值域即可判断；②先求定义域，再判断f（-x）与f（x）的关系，即可判断；
③讨论x＞0，x＜0，运用指数函数的单调性，即可判断；④讨论x＞0，x＜0函数的取值范围，再求并集，即可判断．
③讨论x＞0，x＜0，运用指数函数的单调性，即可判断；④讨论x＞0，x＜0函数的取值范围，再求并集，即可判断．
解答：
解：函数f（x）=
即f（x）=
=1+
，
①令f（x）=0，则由于ex，e-x＞0，故无零点．故①错；
②e2x≠1，即x≠0，f（-x）=
=-f（x），故②正确；
③当x＞0时，f（x）递减，当x＜0时，f（x）递减，故③错；
④当x＞0时，e2x＞1，f（x）＞1；当x＜0时，0＜e2x＜1，f（x）＜-1，故④正确．
故选C．
| ex+e-x |
| ex-e-x |
即f（x）=
| e2x+1 |
| e2x-1 |
| 2 |
| e2x-1 |
①令f（x）=0，则由于ex，e-x＞0，故无零点．故①错；
②e2x≠1，即x≠0，f（-x）=
| e-x+ex |
| e-x-ex |
③当x＞0时，f（x）递减，当x＜0时，f（x）递减，故③错；
④当x＞0时，e2x＞1，f（x）＞1；当x＜0时，0＜e2x＜1，f（x）＜-1，故④正确．
故选C．
点评：本题考查函数的奇偶性、单调性和值域，以及零点问题，注意定义的运用，指数函数的值域的运用，属于中档题．
练习册系列答案
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C、
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D、
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|
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