Question

已知函数f（x）=sin（2x+φ）（0＜φ＜π）的图象经过点(

π

12

， 1)．
（1）求φ的值；
（2）在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，若a²+b²-c²=ab，且f(

A

2

+

π

12

)=

2

2

．求sinB．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,余弦定理

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）利用函数f（x）=sin（2x+φ）（0＜φ＜π）的图象经过点(

π

12

， 1)，结合0＜φ＜π求出φ的值．
（2）利用余弦定理求出C的正弦函数与余弦函数值，通过f(

A

2

+

π

12

)=

2

2

求出A的正弦函数与余弦函数值，即可求解sinB．

解答： （本小题满分12分）
解：（1）由题意可得f(

π

12

)=1，即sin(

π

6

+φ)=1．    …（2分）
∵0＜φ＜π，∴

π

6

＜

π

6

+φ＜

7π

6

，∴

π

6

+φ=

π

2

，∴φ=

π

3

．  …（5分）
（2）∵a²+b²-c²=ab，∴cosC=

a2+b2-c2

2ab

=

1

2

，…（7分）
∴sinC=

1-cos2C

=

3

2

．    …（8分）
由（1）知f(x)=sin(2x+

π

3

)，
∴f(

A

2

+

π

12

)=sin(A+

π

2

)=cosA=

2

2

．
∵A∈（0，π），∴sinA=

1-cos2A

=

2

2

，…（10分）
又∵sinB=sin（π-（A+C））=sin（A+C），
∴sinB=sinAcosC+cosAsinC=

2

2

×

1

2

+

2

2

×

3

2

=

2 + 6

4

．…（12分）

点评：本小题主要考查了三角函数f（x）=Asin（ωx+ϕ）的图象与性质，三角恒等变换，以及余弦定理等基础知识，考查了简单的数学运算能力．