Question

4．在平面直角坐标系xoy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度，建立极坐标系，已知曲线C₁的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=sinα\\ y=cos2α\end{array}\right.$，（$α∈[{0，\frac{π}{2}}]$，α为参数），曲线C₂的极坐标方程为$θ=-\frac{π}{6}$，求曲线C₁与曲线C₂的交点的直角坐标．

Answer 1

分析 求出曲线C₁的普通方程和曲线C₂的直角坐标方程，两方程联立，能求出曲线C₁与曲线C₂的交点的直角坐标．

解答 解：∵曲线C₁的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=sinα\\ y=cos2α\end{array}\right.$，（$α∈[{0，\frac{π}{2}}]$，α为参数），
∴曲线C₁的普通方程为y=1-2x²，x∈[0，1]，
∵曲线C₂的极坐标方程为$θ=-\frac{π}{6}$，∴曲线C₂的直角坐标方程为y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}x$，
两方程联立：$\left\{\begin{array}{l}{y=1-2{x}^{2}}\\{y=-\frac{\sqrt{3}}{3}x}\end{array}\right.$，得2$\sqrt{3}{x}^{2}$-x-$\sqrt{3}$=0，
解得${x}_{1}=-\frac{1}{\sqrt{3}}$，${x}_{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∵x∈[0，1]，∴$x=\frac{\sqrt{3}}{2}$，y=-$\frac{1}{2}$，
∴曲线C₁与曲线C₂的交点的直角坐标为（$\frac{\sqrt{3}}{2}，-\frac{1}{2}$）．

点评 本题考查两条曲线交点的直角坐标的求法，考查极坐标方程、直角坐标方程、参数方程的互化等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．