已知曲线${C 1}:\left\{\begin{array}{l}x=1+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\\ y=\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\end{array}\right.$.以原点为极点.以x正半轴为极轴.建立极坐标系.曲线${C 2}:\frac{1}{ρ^2}=\frac{{{{cos}^2}θ}}{2}+{sin^2}θ$．(Ⅰ)写出曲线C1的� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

9．已知曲线${C_1}：\left\{\begin{array}{l}x=1+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\\ y=\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\end{array}\right.$（t为参数），以原点为极点，以x正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线${C_2}：\frac{1}{ρ^2}=\frac{{{{cos}^2}θ}}{2}+{sin^2}θ$．
（Ⅰ）写出曲线C₁的普通方程，曲线C₂的直角坐标方程；
（Ⅱ）若M（1，0），且曲线C₁与曲线C₂交于两个不同的点A，B，求$\frac{|MA|•|MB|}{|AB|}$的值．

分析（Ⅰ）消去参数t，即可求得C₁的普通方程，由$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$，化简即可求得曲线C₂的直角坐标方程；
（Ⅱ）将曲线C₁代入曲线C₂的方程，求得A和B点坐标，根据两点之间的距离公式，即可求得$\frac{|MA|•|MB|}{|AB|}$的值．

解答解：（Ⅰ）将y=$\frac{\sqrt{2}}{2}$t，代入x=1+$\frac{\sqrt{2}}{2}$t，整理得x-y-1=0，则曲线C₁的普通方x-y-1=0；
曲线${C_2}：\frac{1}{ρ^2}=\frac{{{{cos}^2}θ}}{2}+{sin^2}θ$，则1=$\frac{{ρ}^{2}co{s}^{2}θ}{2}$+ρ²sin²θ．
由$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$，则曲线C₂的直角坐标方程$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$；
（Ⅱ）由$\left\{\begin{array}{l}{y=x-1}\\{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，整理得：3x²-4x=0，解得：x=0或x=$\frac{4}{3}$，
则A（0，-1），B（$\frac{4}{3}$，$\frac{1}{3}$），
∴丨MA丨=$\sqrt{（1-0）^{2}+（0+1）^{2}}$=$\sqrt{2}$，丨MB丨=$\sqrt{（\frac{4}{3}-1）^{2}+（\frac{1}{3}-0）^{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{3}$，
∴丨AB丨=$\sqrt{（\frac{4}{3}-0）^{2}+（\frac{1}{3}+1）^{2}}$=$\frac{4\sqrt{2}}{3}$，
∴$\frac{|MA|•|MB|}{|AB|}$=$\frac{\sqrt{2}×\frac{\sqrt{2}}{3}}{\frac{4\sqrt{2}}{3}}$=$\frac{{\sqrt{2}}}{4}$，
∴$\frac{|MA|•|MB|}{|AB|}$的值$\frac{{\sqrt{2}}}{4}$．

点评本题考查直线的参数方程，椭圆的极坐标方程，直线与椭圆的位置关系，考查计算能力，属于中档题．