Question

20．已知函数f（x）=|x-2|+|x-4|的最小值为m，正实数a，b满足a+b=m．
（1）求m的值；
（2）求证：$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$≥2．

Answer 1

分析 （1）利用绝对值不等式的性质得出f（x）的最小值；
（2）把1=$\frac{1}{2}$（a+b）代入左侧，利用基本不等式得出结论．

解答 解：（1）f（x）=|x-2|+|x-4|≥|（x-2）-（x-4）|=2，当且仅当2≤x≤4时等号成立，
∴m=2．
（2）证明：∵a+b=2，∴$\frac{1}{2}$（a+b）=1，
∴$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$=$\frac{a+b}{2a}+\frac{a+b}{2b}$=1+$\frac{b}{2a}$+$\frac{a}{2b}$=1+$\frac{1}{2}$（$\frac{b}{a}$+$\frac{a}{b}$）≥1+$\frac{1}{2}$×2=2．
当且仅当$\frac{b}{a}=\frac{a}{b}$即a=b=1时等号成立．

点评 本题考查了绝对值不等式的性质，基本不等式的应用，属于中档题．