Question

19．已知椭圆$C：\left\{\begin{array}{l}x=2cosφ\\ y=sinφ\end{array}\right.（φ$为参数），A，B是C上的动点，且满足OA⊥OB（O为坐标原点），以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系，点D的极坐标为$（4，\frac{π}{3}）$．
（1）求线段AD的中点M的轨迹E的普通方程；
（2）利用椭圆C的极坐标方程证明$\frac{1}{{{{|{OA}|}^2}}}+\frac{1}{{{{|{OB}|}^2}}}$为定值，并求△AOB的面积的最大值．

Answer 1

分析 （1）由题意求得线段AD中点坐标M，即可求得M的轨迹E的参数方程，消去α，即可求得E的普通方程；
（2）由椭圆的普通方程，求得极坐标方程，求得${ρ^2}=\frac{4}{{1+3{{sin}^2}θ}}$，由OA⊥OB，根据$\frac{1}{{{{|{OA}|}^2}}}+\frac{1}{{{{|{OB}|}^2}}}=\frac{1}{ρ_1^2}+\frac{1}{ρ_2^2}$，化简即可求得$\frac{1}{{{{|{OA}|}^2}}}+\frac{1}{{{{|{OB}|}^2}}}$=$\frac{5}{4}$为定值，根据三角形的面积公式，利用二倍角公式，及三角函数的性质，即可求得△AOB面积的最大值．

解答 解：（1）点D的直角坐标为$（2，2\sqrt{3}）$，由题意可设点A的坐标为（2cosα，sinα）参数，
则线段AD的中点M的坐标为$（1+cosα，\sqrt{3}+\frac{1}{2}sinα）$，
所以点M的轨迹E的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=1+cosα\\ y=\sqrt{3}+\frac{1}{2}sinα\end{array}\right.（α$为参数）
消去α可得E的普通方程为${（x-1）^2}+4{（y-\sqrt{3}）^2}=1$．
（2）椭圆C的普通方程为$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$，化为极坐标方程得ρ²+3ρ²sin²θ=4，
变形得${ρ^2}=\frac{4}{{1+3{{sin}^2}θ}}$，
由OA⊥OB，不妨设$A（{ρ_1}，θ），B（{ρ_2}，θ+\frac{π}{2}）$，所以$\frac{1}{{{{|{OA}|}^2}}}+\frac{1}{{{{|{OB}|}^2}}}=\frac{1}{ρ_1^2}+\frac{1}{ρ_2^2}$
=$\frac{{1+3{{sin}^2}θ}}{4}+\frac{{1+3{{sin}^2}（θ+\frac{π}{2}）}}{4}=\frac{{2+3{{sin}^2}θ+3{{cos}^2}θ}}{4}=\frac{5}{4}$（定值），
S_△AOB=$\frac{1}{2}$ρ₁ρ₂=$\frac{2}{\sqrt{（1+3si{n}^{2}θ）（1+3co{s}^{2}θ）}}$=$\frac{2}{{\sqrt{1+3+9{{sin}^2}θ{{cos}^2}θ}}}=\frac{2}{{\sqrt{4+\frac{9}{4}{{sin}^2}2θ}}}$，
易知当sin2θ=0时，S取得最大值1．

点评 本题考查轨迹方程的求法，参数方程与普通方程的转化，椭圆的极坐标方程，考查两点之间距离公式、极坐标的应用，考查计算能力，属于中档题．