Question

16．已知函数$f（x）=|{x+\sqrt{3+a}}$|-$|{x-\sqrt{1-a}}$|，其中-3≤a≤1．
（Ⅰ）当a=1时，解不等式f（x）≥1；
（Ⅱ）对于任意α∈[-3，1]，不等式f（x）≥m的解集为空集，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （I）讨论x的范围，去掉绝对值符号，解出x的范围；
（II）利用绝对值不等式的性质和基本不等式得出f（x）的最大值，即可得出m的范围．

解答 解：（Ⅰ）当a=1时，f（x）=|x+2|-|x|，
①当x＜-2时，不等式即为-x-2+x≥1，不等式无解；
②当-2≤x≤0时，不等式即为x+2+x≥1，解得$-\frac{1}{2}≤x≤0$；
③当x＞0时，不等式即为x+2-x≥1，不等式恒成立．
综上所述，不等式的解集是$[{-\frac{1}{2}，+∞}）$．
（Ⅱ）由$f（x）=|{x+\sqrt{3+a}}|$$-|{x-\sqrt{1-a}}|≤$$\sqrt{3+a}+\sqrt{1-a}$．
而${（{\sqrt{3+a}+\sqrt{1-a}}）^2}$=$4+2\sqrt{（{3+a}）（{1-a}）}≤$4+4=8，
∴$\sqrt{3+a}+\sqrt{1-a}≤2\sqrt{2}$，∴$f（x）≤2\sqrt{2}$．
要使不等式f（x）≥m的解集为空集，则有$m＞2\sqrt{2}$，
所以，实数m的取值范围是$（{2\sqrt{2}，+∞}）$．

点评 本题考查了绝对值不等式的解法，绝对值不等式的性质，基本不等式的性质，属于中档题．