Question

12．已知函数f（x）=x³-3x²+（3-3a²）x+b（a≥1，b∈R）．当x∈[0，2]时，记|f（x）|的最大值为|f（x）|_max，对任意的a≥1，b∈R，|f（x）|_max≥k恒成立．则实数k的最大值为（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 求出f（x）的导数，分解因式，可得区间[0，2]为减区间，可得f（x）的最值，由绝对值不等式的性质，结合二次函数的最值求法，可得k的范围，进而得到k的最大值．

解答 解：函数f（x）=x³-3x²+（3-3a²）x+b的导数为f′（x）=3x²-6x+3-3a²
=3（x-1+a）（x-1-a），
由a≥1，可得1+a≥2，1-a≤0，
则区间[0，2]为减区间，可得f（x）的最小值为f（0）=b，
最大值为f（2）=b+2-6a²，
对任意的a≥1，b∈R，|f（x）|_max≥k恒成立，
可得k≤|b|，k≤|b+2-6a²|，
即为2k≤|b|+|b+2-6a²|，
由|b|+|b+2-6a²|≥|b-b-2+6a²|=|6a²-2|≥4，
可得2k≤4，即k≤2，
则k的最大值为2．
故选：B．

点评 本题考查不等式恒成立问题的解法，注意运用导数判断单调性，考查绝对值不等式的性质和化简整理的运算能力，属于中档题．