Question

2．如图所示，圆O的圆心为坐标原点，B为圆O上一点，若点A坐标为（3，0），|AB|=4，sin∠AOB=$\frac{\sqrt{15}}{4}$．
求：（1）△AOB的面积；
（2）AB所在的直线方程．

Answer 1

分析 （1）设圆的半径为r，则B（-$\frac{1}{4}$r，$\frac{\sqrt{15}}{4}$r），利用勾股定理建立方程，求出r，即可求出△AOB的面积；
（2）利用点斜式，求出AB所在的直线方程．

解答 解：（1）设圆的半径为r，则B（-$\frac{1}{4}$r，$\frac{\sqrt{15}}{4}$r），
∵点A坐标为（3，0），|AB|=4，
∴（3+$\frac{1}{4}$r）²+（$\frac{\sqrt{15}}{4}$r）²=16，
∴2r²+3r-14=0，
∴r=2，
∴△AOB的面积S=$\frac{1}{2}×2×3×\frac{\sqrt{15}}{4}$=$\frac{3\sqrt{15}}{4}$；
（2）由（1）知B（-$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{15}}{2}$），
∴AB所在的直线方程为y-0=$\frac{\frac{\sqrt{15}}{2}-0}{-\frac{1}{2}-3}$（x-3），即$\sqrt{15}$x+7y-3$\sqrt{15}$=0．

点评 本题考查直线、圆的方程，考查三角形面积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．