Question

云南省2014年全省高中男生身高统计调查数据显示：全省100000名男生的身高服从正态分布N（107.5，16）．现从我校高三年级男生中随机抽取50名测量身高，测量发现被测学生身高全部介于157.5cm和187.5cm之间，将测量结果按如下方式分成6组：第一组[157.5，162.5]，第二组[162.5，167.5]，…，第6组[182.5，187.5]，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．
（Ⅰ）试评估我校高三年级男生在全省高中男生中的平均身高状况；
（Ⅱ）求这50名男生身高在177.5cm以上（含177.5cm）的人数；
（Ⅲ）在这50名男生身高在177.5cm以上（含177.5cm）的人中任意抽取2人，该2人
中身高排名（从高到低）在全省前130名的人数记为ξ，求ξ的数学期望．
参考数据：
若ξ～N（μ，σ²），则P（μ-σ＜ξ≤μ+σ）=0.6826，P（μ-2σ＜ξ≤μ+2σ）=0.9544，
P（μ-3σ＜ξ≤μ+3σ）=0.9974．

Answer 1

考点：频率分布直方图,离散型随机变量的期望与方差,正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义

专题：概率与统计

分析：（I）计算平均身高用组中值×频率，即可得到结论；
（II）先理解频率分布直方图横纵轴表示的意义，横轴表示身高，纵轴表示频数，即每组中包含个体的个数；
根据频数分布直方图，了解数据的分布情况，知道每段所占的比例，从而求出这50名男生身高在177.5cm以上（含177.5cm）的人数；
（III）先根据正态分布的规律求出全市前130名的身高在182.5cm以上的50人中的人数，确定ξ的可能取值，求出其概率，即可得到ξ的分布列与期望．

解答： 解：（Ⅰ）根据频率分布直方图，得；
我校高三年级男生平均身高为

.

x

=160×0.02×5+165×0.04×5+170×0.06×5
+175×0.04×5+180×0.02×5+185×0.02×5=171.5，
∴高于全市的平均值170.5；（4分）
（Ⅱ）由频率分布直方图知，后两组频率为0.2，
∴人数为0.2×50=10，
即这50名男生身高在177.5cm以上（含177.5 cm）的人数为10人；…（6分）
（Ⅲ）∵P（170.5-3×4＜ξ≤170.5+3×4）=0.9974，
∴P（ξ≥182.5）=

1-0.9974

2

=0.0013，
∴0.0013×100 000=130，
全省前130名的身高在182.5 cm以上，这50人中182.5 cm以上的有5人；
∴随机变量ξ可取0，1，2，于是
P（ξ=0）=

C 2 5

C 2 10

=

10

45

=

2

9

，P（ξ=1）=

C 1 5 •C 1 5

C 2 10

=

25

45

=

5

9

，P（ξ=2）=

C 2 5

C 2 10

=

10

45

=

2

9

，
∴Eξ=0×

2

9

+1×

5

9

+2×

2

9

=1．…（12分）

点评：本题考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了离散型随机变量的期望与方差的计算问题，是基础题目．