Question

已知函数f（x）=x-x²+3lnx
（Ⅰ）求在P（1，0）处的切线方程；
（Ⅱ）证明f（x）≤2x-2．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）求出原函数的导函数，得到f′（1），然后直接由直线方程的点斜式得切线方程；
（Ⅱ）构造函数g（x）=f（x）-2x+2，由导函数求其在（0，+∞）上的最大值，得到最大值为0，则结论得证．

解答： （Ⅰ）解：∵f（x）=x-x²+3lnx （x＞0），
∴f′(x)=1-2x+

3

x

，
则f′（1）=1-2×1+3=2，
∴曲线在P（1，0）处的切线方程为y-0=2（x-1），
即2x-y-2=0；
（Ⅱ）证明：令g（x）=f（x）-2x+2=x-x²+3lnx-2x+2=3lnx-x²-x+2 （x＞0）．
g′(x)=

3

x

-2x-1=

3-x-2x2

x

=

(3+2x)(1-x)

x

，
当x∈（0，1）时，g′（x）＞0，g（x）为增函数；
当x∈（1，+∞）时，g′（x）＜0，g（x）为减函数．
∴当x=1时，g（x）有极大值，也是（0，+∞）上的最大值，为3ln1-1²-1+2=0．
∴g（x）=f（x）-2x+2≤0．
即f（x）≤2x-2．

点评：本题考查利用导数研究曲线上某点处的切线方程，考查了利用构造函数法比较两个函数式的大小，方法是利用导数求差函数的最值，是中档题．