Question

20．已知抛物线C：y²=2px（p＞0）的焦点为F，直线y=4与y轴的交点为P，与抛物线C的交点为Q，且|QF|=2|PQ|，过F的直线l与抛物线C相交于A，B两点．
（1）求C的方程；
（2）设AB的垂直平分线l'与C相交于M，N两点，试判断A，M，B，N四点是否在同一个圆上？若在，求出l的方程；若不在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）将Q（x₀，4）代入抛物线方程，求得丨PQ丨，根据抛物线的定义，即可求得p的值，求得C的方程；
（2）设l的方程为 x=my+1 （m≠0），代入抛物线方程化简，利用韦达定理、中点公式、弦长公式求得弦长|AB|．把直线l′的方程代入抛物线方程化简，利用韦达定理、弦长公式求得|MN|．由于MN垂直平分线段AB，故AMBN四点共圆等价于|AE|=|BE|=$\frac{1}{2}$|MN|，由此求得m的值，可得直线l的方程．

解答 解：（1）设Q（x₀，4），代入y²=2px得x₀=$\frac{8}{p}$，
∴|PQ|=$\frac{8}{p}$，|QF|=$\frac{p}{2}$+x₀=$\frac{p}{2}$+$\frac{8}{p}$．
由题设得$\frac{p}{2}$+$\frac{p}{2}$=2×$\frac{p}{2}$，解得p=-4（舍去）或p=4，
∴抛物线C的方程为y²=8x．
（2）由题设知，l与坐标轴不垂直，且过焦点F（2，0），
故可设l的方程为x=my+2（m≠0），
代入y²=8x得y²-8my-16=0．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则y₁+y₂=8m，y₁y₂=-16．
故AB的中点为D（4m²+2，4m），
|AB|=$\sqrt{{m}^{2}+1}$|y₁-y₂|=$\sqrt{{m}^{2}+1}$•$\sqrt{（8m）^{2}+64}$=8（m²+1）．
又l′⊥l，所以l′的斜率为-m，
所以l′的方程为x=-$\frac{1}{m}$y+4m²+6．
将上式代入y²=8x，并整理得y²+$\frac{8}{m}$y-8（4m²+6）=0，
设M（x₃，y₃），N（x₄，y₄），
则y₃+y₄=-$\frac{8}{m}$，y₃y₄=-8（4m²+6）．
故MN的中点为E（$\frac{4}{{m}^{2}}$+4m2+6，-$\frac{4}{m}$），
|MN|=$\sqrt{1+\frac{1}{{m}^{2}}}$|y₃-y₄|=$\sqrt{1+\frac{1}{{m}^{2}}}$•$\sqrt{\frac{64}{{m}^{2}}+64（2{m}^{2}+3）}$=$\frac{8（{m}^{2}+1）\sqrt{2{m}^{2}+1}}{{m}^{2}}$，
由于MN垂直平分AB，故A，M，B，N四点在同一圆上等价于|AE|=|BE|=$\frac{1}{2}$|MN|，
又在Rt△ADE中，丨AD丨²+丨DE丨²=丨AE丨²，
从而$\frac{1}{4}$|AB|²+|DE|²=$\frac{1}{4}$|MN|²，
即16（m²+1）²+（4m+$\frac{4}{m}$）²+（$\frac{4}{{m}^{2}}$+4）²=$\frac{16（{m}^{2}+1）^{2}（2{m}^{2}+1）}{{m}^{4}}$，
化简得m²-1=0，m=±1，
所以当A，M，B，N四点在同一圆上时，l的方程为x=±y+2，即x±y-2=0．

点评 本题主要考查求抛物线的标准方程，直线和圆锥曲线的位置关系的应用，韦达定理、弦长公式的应用，体现了转化的数学思想，属于难题．