Question

8．正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为a．E为棱AA₁的中点，
（1）求三棱锥E-BCD₁与三棱锥A-CDB₁的体积比为．
（2）求三棱锥B-A₁C₁D的体积．

Answer 1

分析 （1）取DD₁的中点F，连接EF，可得EF∥BC，即EF∥面BCD₁，${V}_{E-BC{D}_{1}}={V}_{F-BC{D}_{1}}$=$\frac{1}{2}{V}_{D-BC{D}_{1}}$=$\frac{1}{2}{V}_{{D}_{1}BCD}=\frac{1}{2}×\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×a×a×a=\frac{{a}^{3}}{12}$，V${\;}_{A-CD{B}_{1}}={V}_{{B}_{1}-ADC}=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×a×a×a$=$\frac{{a}^{3}}{6}$，即可求解；
（2）三棱锥B-A₁C₁D是棱长为$\sqrt{2}a$的正四面体，利用正四面体的性质，计算体积即可．

解答 解：（1）取DD₁的中点F，连接EF，可得EF∥BC，即EF∥面BCD₁
∴${V}_{E-BC{D}_{1}}={V}_{F-BC{D}_{1}}$=$\frac{1}{2}{V}_{D-BC{D}_{1}}$=$\frac{1}{2}{V}_{{D}_{1}BCD}=\frac{1}{2}×\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×a×a×a=\frac{{a}^{3}}{12}$，
V${\;}_{A-CD{B}_{1}}={V}_{{B}_{1}-ADC}=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×a×a×a$=$\frac{{a}^{3}}{6}$，
∴三棱锥E-BCD₁与三棱锥A-CDB₁的体积比为1：2；

（2）三棱锥B-A₁C₁D是棱长为$\sqrt{2}a$的正四面体，如图：
设B在面A₁C₁D的投影为O，则O为等边三角形的中心，
∴${A}_{1}O=\frac{2}{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}×\sqrt{2}a=\frac{\sqrt{6}}{3}a$，∴$BO=\sqrt{（\sqrt{2}a）^{2}-（\frac{\sqrt{6}a}{3}）^{2}}=\frac{2\sqrt{3}a}{3}$，
三棱锥B-A₁C₁D的体积V=$\frac{1}{3}×{s}_{{A}_{1}{C}_{1}D}×BO$=$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{3}}{4}×（\sqrt{2}a）^{2}×\frac{2\sqrt{3}}{3}a=\frac{{a}^{3}}{3}$．

点评 本题考查了等体积法求体积，考查了计算能力，属于中档题．