Question

5．已知过点P（-1，0）的直线l与抛物线y²=4x相交于A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）两点．
（Ⅰ）求直线l倾斜角的取值范围；
（Ⅱ）是否存在直线l，使A、B两点都在以M（5，0）为圆心的圆上，若存在，求出此时直线及圆的方程，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设直线l的方程，代入抛物线方程，利用△＞0，即可求得k的取值范围，求得直线l倾斜角的取值范围；
（Ⅱ）设圆M的方程，与抛物线方程联立，根据韦达定理，即可求得r的值及直线l的斜率k，求得直线及圆的方程．

解答 解：（Ⅰ）由已知直线l的斜率存在且不为0．
设l：y=k（x+1），则$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x+1）}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，整理得：ky²-4y+4k=0，
y₁+y₂=$\frac{4}{k}$，
△=16-4k×4k＞0，解得：-1＜k＜1且k≠0．
∴直线l倾斜角的取值范围（0，$\frac{π}{4}$）∪（$\frac{3π}{4}$，π）；
（Ⅱ）设⊙M：（x-5）²+y²=r²，（r＞0），
则$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=4x}\\{（x-5）^{2}+{y}^{2}={r}^{2}}\end{array}\right.$，则x²-6x+25-r²=0，
∴x₁+x₂=6，
又由（Ⅰ）知y₁y₂=4，∴x₁x₂=1．
∴25-r²=1，∴r²=24，
并且r²=24时，方程的判别式△=36-4×（25-r²）＞0，
由y₁+y₂=k（x₁+x₂+2）=$\frac{4}{k}$，解得：k=±$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴存在定圆M，经过A、B两点，
其方程为：（x-5）²+y²=24，此时直线l方程为y=±$\frac{\sqrt{2}}{2}$（x+1）．

点评 本题考查直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理的应用，圆的标准方程，考查计算能力，属于中档题．