Question

某同学在研究函数f（x）=

x

1+|x|

（x∈R） 时，分别给出下面几个结论：
①等式f（-x）+f（x）=0在x∈R时恒成立；
②函数 f （x） 的值域为 （-1，1）；
③若x₁≠x₂，则一定有f （x₁）≠f （x₂）；
④函数g（x）=f（x）-x在R上有三个零点．
其中正确结论的序号是（　　）

• A、①②
• B、①②③
• C、①③④
• D、①②③④

Answer 1

考点：函数的值域

专题：函数的性质及应用

分析：可以先研究函数的奇偶性，然后做出函数的图象，据此求解．

解答： 解：易知函数的定义域为R，且f（-x）=-f（x），故函数为奇函数．故①正确；
当x＞0时，f（x）=

x

1+x

=

1

1+ 1 x

，该函数在（0，+∞）上递增，且x→0时，f（x）→0；当x→+∞时，f（x）→1．
结合奇偶性，作出f（x）的图象如下：
易知函数的值域是（-1，1），故②正确；
结合函数为定义域内的增函数，所以③正确；
又x≥0时，g（x）=f（x）-x=

x

1+x

-x=

-x2

1+x

，
令f（x）-x=0得x=0，故此时g（x）只有一个零点0，g（x）显然是奇函数，故该函数只有一个零点，所以④错误．
故正确的命题是①②③．
故选B

点评：本题考查了函数的性质．一般先研究定义域，然后判断函数的奇偶性、单调性等性质作为突破口，有一些要结合函数的图象加以分析，注意数形结合的思想的应用．