Question

（2010•顺义区一模）已知椭圆C：，（a＞b＞0）的两焦点分别为F1、F2，，离心率．过直线l：上任意一点M，引椭圆C的两条切线，切点为A、B．

（1）在圆中有如下结论：“过圆x2+y2=r2上一点P（x0，y0）处的切线方程为：x0x+y0y=r2”．由上述结论类比得到：“过椭圆（a＞b＞0），上一点P（x0，y0）处的切线方程”（只写类比结论，不必证明）．

（2）利用（1）中的结论证明直线AB恒过定点（）；

（3）当点M的纵坐标为1时，求△ABM的面积．

 

Answer 1

（1）见解析；（2）见解析；（3）

【解析】

试题分析：（1）由过圆上一点的切线方程，我们不难类比推断出过椭圆上一点的切线方程．

（2）由（1）的结论，我们可以设出A，B两点的坐标，列出切线方程，又由M为直线l：上任意一点，故可知M为两条切线与l的公共交点，消参后即得答案．

（3）由（2）中结论，我们可得M点的坐标，根据l的方程我们可以计算出AB边上的高，再由弦长公式计算出AB的长度，代入三角形面积公式即可．

【解析】
（1）类比过圆上一点的切线方程，可合情推理：

过椭圆（a＞b＞0），上一点P（x0，y0）处的切线方程为．

（2）由，离心率

得，a=3∴b=1

∴椭圆C的方程为：

l的方程为：

设A（x1，y1），B（x2，y2），M的纵坐标为t，即，

由（1）的结论

∴MA的方程为

又其过点，

∴

同理有

∴点A（x1，y1），B（x2，y2）在直线上；

当，y=0时，方程恒成立，

∴直线AB过定点

（3）t=1∴消去y得，

∴，x1x2=0，

∴．