Question

 (1)证明：f(x)是R上的偶函数．

(2)若关于x的不等式mf(x)≤e^－x ＋m－1在(0，＋∞)上恒成立，求实数m的取值范围．

(3)已知正数a满足：存在x₀∈[1，＋∞)，使得f(x₀)<a(－x＋3x₀)成立．试比较e^a－1与a^e－1的大小，并证明你的结论．

Answer 1

 [解析]

(1)证明：因为对任意 x∈R，都有f(－x)＝e^－x＋e －(－x)＝e^－x＋e^x＝f(x)，

所以f(x)是R上的偶函数．

(2)由条件知 m(e^x＋e^－x－1)≤e^－x－1在(0，＋∞)上恒成立．

令 t＝e^x(x>0)，则 t>1，所以 m≤对任意 t>1成立．

因为＝3, 所以 －≥－，

当且仅当 t＝2, 即x ＝ ln 2时等号成立．

因此实数 m 的取值范围是.

(3)令函数 g(x)＝e^x＋－ a(－x³＋3x)，则g′ (x) ＝e^x－＋3a(x²－1)．

当 x≥1时，e^x－>0，x²－1≥0.又a>0，故 g′(x)>0，所以g(x)是[1，＋∞)上的单调递增函数， 因此g(x)在[1，＋∞)上的最小值是 g(1)＝ e＋e^－1－2a.

由于存在x₀∈[1，＋∞)，使ex₀＋e－x₀－a(－x＋ 3x₀ )<0 成立， 当且仅当最小值g(1)<0，

故 e＋e^－1－2a<0, 即 a>.

令函数h(x) ＝ x －(e－1)ln x－1，则 h′(x)＝1－. 令 h′(x)＝0, 得x＝e－1.

当x∈(0，e－1)时，h′(x)<0，故h(x)是(0，e－1)上的单调递减函数；

当x∈(e－1，＋∞)时，h′(x)>0，故h(x)是(e－1，＋∞)上的单调递增函数．

所以h(x)在(0，＋∞)上的最小值是h(e－1)．

注意到h(1)＝h(e)＝0，所以当x∈(1，e－1)⊆(0，e－1)时，h(e－1)≤h(x)<h(1)＝0；

当x∈(e－1，e)⊆(e－1，＋∞)时，

h(x)<h(e)＝0.

所以h(x)<0对任意的x∈(1，e)成立．

故①当a∈⊆(1，e)时， h(a)<0，

即a－1<(e－1)ln a，从而e^a－1<a^e－1；

②当a＝e时，e^a－1＝a^e－1；

③当a∈(e，＋∞)⊆(e－1，＋∞)时，h(a)>h(e)＝0，即a－1>(e－1)ln a，故e^a－1>a^e－1.

综上所述，当a∈时，e^a－1<a^e－1；当a＝e时，e^a－1＝a^e－1；

当a∈(e，＋∞)时，e^a－1>a^e－1.