Question

已知平行四边形ABCD，AB=4，AD=2，∠DAB=60°，E为AB的中点，把三角形ADE沿DE折起至A₁DE位置，使得A₁C=4，F是线段A₁C的中点．

（1）求证：BF∥面A₁DE；
（2）求证：面A₁DE⊥面DEBC；
（3）求四棱锥A₁-DEBC的体积．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,直线与平面平行的判定,平面与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）取DA₁的中点G，连接FG、GE，通过证明BF∥EG，利用直线与平面平行的判定定理证明BF∥平面A₁DE．
（2）取DE的中点H，连接A₁H、CH，通过证明A₁H⊥面DEBC，然后通过平面与平面垂直的判定定理证明面A₁DE⊥面DEBC．
（3）利用（2）的结果，直接求解几何体的体积即可．

解答： （本题14分）
解：（1）证明：取DA₁的中点G，连接FG、GE，
∵F为A₁C中点，

∴GF∥DC，且GF=

1

2

DC，
∵E为平行四边形ABCD边AB的中点，
∴EB∥DC，且EB=

1

2

DC，
∴EB∥GF，且EB=GF，
∴四边形BFGE是平行四边形，
∴BF∥EG，
∵EG?平面A₁DE，BF?平面A₁DE
∴BF∥平面A₁DE…（4分）
（2）取DE的中点H，连接A₁H、CH，
∵AB=4，AD=2，∠DAB=60°，E为AB的中点，
∴△DAE为等边三角形，即折叠后△DA₁E也为等边三角形，
∴A₁H⊥DE，且A1H=

3

，

在△DHC中，DH=1，DC=4，∠HDC=60°
根据余弦定理，可得HC2=DH2+DC2-2DH•DCcos60o=12+42-2×1×4×

1

2

=13，
在△A₁HC中，A1H=

3

，HC=13，A₁C=4，
∴A1C2=A1H2+HC2，即A₁H⊥HC
又∵

A1H⊥DE A1H⊥HC DE?面DEBC HC?面DEBC DE∩HC=H

，所以A₁H⊥面DEBC
又∵A₁H?面A₁DE∴面A₁DE⊥面DEBC…（10分）
（3）由第（2）问知A₁H⊥面DEBC，
VA1-DEBC=

1

3

S底面DEBC•h=

1

3

×

1

2

(2+4)×

3

×

3

=3…（14分）

点评：本题考查直线与平面平行与垂直的判定定理，平面与平面垂直的判定定理的应用，几何体的体积的求法，考查空间想象力以及计算能力．