Question

某大学自主招生测试题题库中的试题分为A型和B型两类，学生需从中任意抽取两道A型试题与一道B型试题作答，答对一道A型试题得1分，B型得2分，若得分不低于2分，则测试合格．已知学生甲答对每道A型试题的概率为

1

2

，答对B型试题的概率为

1

3

，且每道试题答对与否互不影响．
（1）求学生甲合格的概率；
（2）设学生甲在测试中，答对A个数为m，答对B个数为n，设随机变量Z=丨m-n丨，求Z的分布列与数学期望．

Answer 1

考点：离散型随机变量的期望与方差,离散型随机变量及其分布列

专题：概率与统计

分析：（1）学生甲不合格是指甲答错1道A型试题且答错1道B型试题，或甲3道题全答错，由此利用对立事件的概率公式能求出学生甲合格的概率．
（2）由已知得Z的可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出Z的分布列与数学期望．

解答： 解：（1）∵学生甲不合格是指甲答错1道A型试题且答错1道B型试题，或甲3道题全答错，
∴学生甲合格的概率：P=1-

C

1 2

(

1

2

)(

1

2

)×

2

3

-

1

2

×

1

2

×

2

3

=

1

2

．
（2）由已知得Z的可能取值为0，1，2，
P（Z=0）=(1-

1

2

)(1-

1

2

)(1-

1

3

)+

C

1 2

(

1

2

)(1-

1

2

)×

1

3

=

1

6

+

1

6

=

1

3

，
P（Z=1）=

C

1 2

(

1

2

)(1-

1

2

)(1-

1

3

)+（1-

1

2

）（1-

1

2

）•

1

3

+

1

2

×

1

2

×

1

3

=

1

2

，
P（Z=2）=

1

2

×

1

2

×(1-

1

3

)=

1

6

，
∴Z的分布列为：

Z	0	1	2
P	1 3	1 2	1 6

EZ=0×

1

3

+1×

1

2

+2×

1

6

=

5

6

．

点评：本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，在历年高考中都是必考题型之一．