Question

设函数g（x）=sin（

π

4

x-

π

6

）-2cos²（

π

8

x）+1．
（1）求f（x）的对称中心，对称轴，单调增区间．
（2）若函数y=g（x）与y=f（x）的图象关于直线x=1对称，求当x∈[0，

4

3

]时y=g（x）的最大值．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,正弦函数的图象

专题：计算题,三角函数的求值,三角函数的图像与性质

分析：（1）利用两角和与差的三角函数直接化简函数的表达式为一个角的一个三角函数的形式，即可求f（x）的最小正周期．
（2）若函数y=g（x）与y=f（x）的图象关于直线x=1对称，则有g（x）=f（2-x），化简g（x）的表达式，利用x∈[0，

4

3

]，求出相位的范围，利用余弦函数的值域求解函数g（x）的最大值．

解答： （本题满分14分）
解：（1）函数f（x）=sin（

π

4

x）-2cos²

π

8

x+1
=

3

2

sin

π

4

x-

1

2

cos

π

4

x-cos

π

4

x
=

3

2

sin

π

4

x-

3

2

cos

π

4

x
=

3

sin（

π

4

x）…（4分）
∴f（x）的最小正周期为T=

2π

π 4

=8…（6分）
（2）若函数y=g（x）与y=f（x）的图象关于直线x=1对称，则有g（x）=f（2-x），
由题意得：g（x）=f（2-x）=

3

sn[

π

4

（2-x）-

π

3

]=

3

cos（

π

4

x+

π

3

）
当0≤x≤

4

3

时，

π

3

≤

π

4

x+

π

3

≤

2π

3

，
因此y=g（x）在区间[0，

4

3

]上的最大值为：

3

cos

π

3

=

3

2

．…（14分）

点评：本题考查两角和与差的三角函数，正弦函数的周期余弦函数的值域的求法，考查计算能力，属于中档题．