Question

已知定义在R上的偶函数f（x）满足f（4-x）=f（x），且当x∈（-1，3]时，f（x）=

1+cos πx 2 ， 1＜x≤3 x2， -1＜x≤1

则g（x）=f（x）-1g|x|的零点个数是（　　）

• A、9
• B、10
• C、18
• D、20

Answer 1

考点：函数零点的判定定理

专题：函数的性质及应用

分析：先根据函数的周期性画出函数y=f（x）的图象，以及y=|1gx|的图象，结合图象当x＞10时，y=lg10＞1此时与函数y=f（x）无交点，即可判定函数函数g（x）=f（x）-1g|x|的零点个数

解答： 解：解：R上的偶函数f（x）满足f（4-x）=f（x），
∴函数f（x）为周期为4的周期函数，
根据周期性画出函数y=f（x）的图象，y=log₆x的图象
根据y=lg|x|在（1，+∞）上单调递增函数，当x=10时lg^₁₀=1，
∴当x＞10时y=lgx此时与函数y=f（x）无交点，
结合图象可知有9个交点，
则函数g（x）=f（x）-lg|x|的零点个数为18，
故选：C

点评：本题考查函数的零点，求解本题，关键是研究出函数f（x）性质，作出其图象，将函数g（x）=f（x）-1g|x|的零点个数的问题转化为两个函数交点个数问题是本题中的一个亮点，此一转化使得本题的求解变得较容易．