Question

8．已知圆C：（x-3）²+（y-4）²=25，圆C上的点到直线l：3x+4y+m=0（m＜0）的最短距离为1，若点N（a，b）在直线l位于第一象限的部分，则$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$的最小值为$\frac{{7+4\sqrt{3}}}{55}$．

Answer 1

分析 求出圆的圆心与半径，利用圆C上的点到直线l：3x+4y+m=0（m＜0）的最短距离为1，求出m，然后推出a，b的方程，利用基本不等式求解表达式的最值．

解答 解：圆C：（x-3）²+（y-4）²=25，圆心坐标（3，4），半径为5，
圆C上的点到直线l：3x+4y+m=0（m＜0）的最短距离为1，
可得$\frac{|9+16+m|}{\sqrt{9+16}}$=6，解得m=-55．
点N（a，b）在直线l位于第一象限的部分，
可得3a+4b=55．
则$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$=$\frac{1}{55}$（$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$）（3a+4b）=$\frac{1}{55}$[7+$\frac{4b}{a}$+$\frac{3a}{b}$]≥$\frac{1}{55}$（7+$2\sqrt{\frac{4b}{a}•\frac{3a}{b}}$）=$\frac{{7+4\sqrt{3}}}{55}$．当且仅当3a²=4b²，a=$\frac{55（2\sqrt{3}-3）}{3}$取等号．
故答案为：$\frac{{7+4\sqrt{3}}}{55}$．

点评 本题考查与与圆的方程的应用，基本不等式求解表达式的最值，考查分析问题解决问题的能力．