题目内容

2．已知函数f（x）=x3+（1-a）x2-a（a+2）x+b（a，b∈R且a＜0）．若函数f（x）的图象过原点，且在原点处的切线斜率是-3．
（Ⅰ）求a，b的值；     
（Ⅱ）求函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程．

分析 （1）求出导数，求出切线的斜率，解方程，即可得到a，再由图象过原点，可得b=0；
（Ⅱ） 由（Ⅰ）知f（x）=x3+4x2-3xf′（x）=3x2+8x-3，求出切线斜率、切点坐标，即可求函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程．

解答 解：（Ⅰ）∵f（x）=x3+（1-a）x2-a（a+2）x+b，
∴f′（x）=3x2+2（1-a）x-a（a+2）…（2分）            
依题意得$\left\{\begin{array}{l}{f（0）=b=0}\\{f′（0）=-a（a+2）=-3}\end{array}\right.$…（4分）
解得，a=-3或a=1（舍去） …（5分）
（Ⅱ） 由（Ⅰ）知f（x）=x3+4x2-3xf′（x）=3x2+8x-3…（6分）
所以k=f′（1）=8…（7分）
又因为当x=1时f（1）=1+4-3=2…（8分）
所以函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y-2=8（x-1）
即y=8x-6…（10分）

点评 本题考查导数的运用：求切线方程，考查运算能力，属于中档题．

练习册系列答案
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12．已知函数$f（x）=sin（\frac{7π}{6}-2x）+2{cos^2}x-1$
（Ⅰ）求函数f（x）在区间$[-\frac{π}{2}，\frac{π}{12}]$上的最大值和最小值；
（Ⅱ）在△ABC中，三内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知函数f（x）的图象经过点$（A，\frac{1}{2}）$，b、a、c成等差数列，且△ABC的面积为$\frac{{9\sqrt{3}}}{2}$，求a的值．
13．直线4x+y=4，mx+y=0和2x-3my=4不能构成三角形，则m的个数为（　　）
A．2B．3C．4D．5
10．已知$|\overrightarrow b|=5$，且$\overrightarrow a•\overrightarrow b=12$，则$\overrightarrow a$在$\overrightarrow b$方向上的投影为（　　）
A．$\frac{12}{5}$B．3C．4D．5
17．下列命题中真命题的个数为（　　）
①面积相等的三角形是全等三角形；
②若xy=0，则|x|+|y|=0；
③若a＞b，则a+c＞b+c；
④矩形的对角线互相垂直．
A．1B．2C．3D．4
7．已知函数h（x）=x2+ax+b在（0，1）上有两个不同的零点，记min{m，n}=$\left\{\begin{array}{l}m（{m≤n}）\\ n（{m＞n}）\end{array}$，则min{h（0），h（1）}的取值范围为（0，$\frac{1}{4}$）．
14．给出以下命题：
①若f′（x0）=0，则f（x0）为f（x）的极值．
②若f（x）的极大值为f（x1），f（x）的极小值为f（x2），则f（x1）＞f（x2）；
③△ABC中，若sin2A+sin2B＜sin2C，则△ABC是钝角三角形；
④若函数f（x）=cos2x+asinx在区间$（\frac{π}{4}，\frac{π}{2}）$是减函数，则a∈$（{-∞，2\sqrt{2}}]$
⑤设△ABC的三边长分别为a、b、c，△ABC的面积为S，内切圆半径为r，则r=$\frac{2S}{a+b+c}$；类比这个结论可知：四面体S-ABC的四个面的面积分别为S1、S2、S3、S4，内切球的半径为R，四面体P-ABC的体积为V，则R=$\frac{3V}{S_1+S_2+S_3+S_4}$
其中正确命题的序号为③④⑤．
11．到直线2x+y+1=0的距离为$\frac{{\sqrt{5}}}{5}$的点的集合为（　　）
A．直线2x+y-2=0B．直线2x+y=0
C．直线2x+y=0或2x+y-2=0D．直线2x+y=0或直线2x+2y+2=0
12．用反证法证明命题“a、b∈R，若a2+b2=0，则a=b=0”，其假设正确的是 （　　）
A．a、b至少有一个不为0B．a、b至少有一个为0
C．a、b全不为0D．a、b中只有一个为0

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