Question

7．已知函数h（x）=x²+ax+b在（0，1）上有两个不同的零点，记min{m，n}=$\left\{\begin{array}{l}m（{m≤n}）\\ n（{m＞n}）\end{array}$，则min{h（0），h（1）}的取值范围为（0，$\frac{1}{4}$）．

Answer 1

分析 由题意可得，$\left\{\begin{array}{l}{f（0）=b＞0}\\{f（1）=1+a+b＞0}\\{0＜-\frac{a}{2}＜1}\\{f（-\frac{a}{2}）=\frac{{a}^{2}}{4}-\frac{{a}^{2}}{2}+b＜0}\end{array}\right.$，从而作出平面区域，而min{f（0），f（1）}=$\left\{\begin{array}{l}{b，-1≤a＜0}\\{1+a+b，-2＜a＜-1}\end{array}\right.$，从而分类讨论求取值范围即可

解答 解：∵函数f（x）=x²+ax+b在（0，1）上有两个零点，
∴$\left\{\begin{array}{l}{f（0）=b＞0}\\{f（1）=1+a+b＞0}\\{0＜-\frac{a}{2}＜1}\\{f（-\frac{a}{2}）=\frac{{a}^{2}}{4}-\frac{{a}^{2}}{2}+b＜0}\end{array}\right.$，
由题意作平面区域如下，
，
∵f（0）=b，f（1）=1+a+b，
∴min{f（0），f（1）}=$\left\{\begin{array}{l}{b，-1≤a＜0}\\{1+a+b，-2＜a＜-1}\end{array}\right.$，
结合图象可知，D（-1，$\frac{1}{4}$），
当-1≤a＜0时，0＜b＜$\frac{1}{4}$，
当-2＜a＜-1时，0＜1+a+b＜$\frac{1}{4}$，
综上所述，min{f（0），f（1）}的取值范围是（0，$\frac{1}{4}$）；
故答案为：（0，$\frac{1}{4}$）．

点评 本题考查了线性规划的变形应用及数形结合、分类讨论的思想应用，同时考查了函数的零点与函数的图象的关系应用．