Question

12．已知函数$f（x）=sin（\frac{7π}{6}-2x）+2{cos^2}x-1$
（Ⅰ）求函数f（x）在区间$[-\frac{π}{2}，\frac{π}{12}]$上的最大值和最小值；
（Ⅱ）在△ABC中，三内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知函数f（x）的图象经过点$（A，\frac{1}{2}）$，b、a、c成等差数列，且△ABC的面积为$\frac{{9\sqrt{3}}}{2}$，求a的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用和差角公式和二倍角公式化简函数的解析式，进而根据x∈$[-\frac{π}{2}，\frac{π}{12}]$，求出相位角的范围，结合正弦函数的图象和性质，可得函数f（x）在区间$[-\frac{π}{2}，\frac{π}{12}]$上的最大值和最小值；
（Ⅱ）由题意易得A=$\frac{π}{3}$，ac=18，由余弦定理可得a²=（b+c）²-2bc-$\sqrt{3}$bc，解关于a的方程可得答案．

解答 解：（Ⅰ）函数$f（x）=sin（\frac{7π}{6}-2x）+2{cos^2}x-1$
=-$\frac{1}{2}$cos2x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x+cos2x=$\frac{1}{2}$cos2x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x=sin（2x+$\frac{π}{6}$）；
当x∈$[-\frac{π}{2}，\frac{π}{12}]$时，2x+$\frac{π}{6}$∈[$-\frac{5π}{6}$，$\frac{π}{3}$]，
当2x+$\frac{π}{6}$=-$\frac{π}{2}$时，函数f（x）取最小值-1，
当2x+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{3}$时，函数f（x）取最大值$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
（Ⅱ）令sin（2A+$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$，则A=kπ，或A=$\frac{π}{3}$+kπ，k∈Z，
∵A为三角形内角，故A=$\frac{π}{3}$，
∵b、a、c成等差数列，
∴2a=b+c，
∴△ABC的面积S=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{\sqrt{3}}{4}$bc=$\frac{{9\sqrt{3}}}{2}$，
解得bc=18，
由余弦定理可得a²=b²+c²-2bcsinA，
∴a²=（b+c）²-2bc-$\sqrt{3}$bc，
∴a²=（2a）²-18（2+$\sqrt{3}$），
解得a=3+$\sqrt{3}$．

点评 本题考查等差数列，涉及三角形的面积公式和余弦定理，属中档题．