Question

17．在长度为6的线段上任取两点（端点除外），分成三条小线段
（1）若分成的三条线段的长度为整数，求这三条线段可以构成三角形的概率；
（2）若分成的三条线段的长度为实数，求这三条线段不可以构成三角形的概率．

Answer 1

分析 （1）本题是一个古典概型，若分成的三条线段的长度均为正整数，则三条线段的长度的所有可能为：1，1，4；1，2，3；2，2，2共3种情况，其中只有三条线段为2，2，2时能构成三角形，得到概率．
（2）本题是一个几何概型，设出变量，写出全部结果所构成的区域，和满足条件的事件对应的区域，注意整理三条线段能组成三角形的条件，做出面积，做比值得到概率

解答 解：（1）若分成的三条线段的长度均为正整数，则三条线段的长度的所有可能为：
1，1，4；1，2，3；1，3，2；1，4，1；
2，1，3；2，2，2；2，3，1；
3，1，2；3，2，1；
4，1，1共10种情况，其中只有三条线段为2，2，2时能构成三角形
则构成三角形的概率p=$\frac{1}{10}$．
（2）由题意知本题是一个几何概型
设其中两条线段长度分别为x，y，
则第三条线段长度为6-x-y，
则全部结果所构成的区域为：
0＜x＜6，0＜y＜6，0＜6-x-y＜6，
即为0＜x＜6，0＜y＜6，0＜x+y＜6
所表示的平面区域为三角形OAB；
若三条线段x，y，6-x-y，能构成三角形，
则还要满足$\left\{\begin{array}{l}{x+y＞6-x-y}\\{x+6-x-y＞y}\\{y+6-x-y＞x}\end{array}\right.$，即为$\left\{\begin{array}{l}{x+y＞3}\\{y＜3}\\{x＜3}\end{array}\right.$，
所表示的平面区域为△DEF，
由几何概型知这三条线段可以构成三角形的概率：P=$\frac{{S}_{△DEF}}{{S}_{△AOB}}=\frac{1}{4}$．
这三条线段不可以构成三角形的概率1-$\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$．

点评 本题考查古典概型，考查几何概型；对于几何概型的问题，一般要通过把试验发生包含的事件同集合结合起来，根据集合对应的图形做出面积，用面积的比值得到结果．