在平面直角坐标系xOy中.直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=1+tcosα}\\{y=\sqrt{3}+tsinα}\end{array}\right.$.其中0≤α＜π．在以O为极点.x轴的正半轴为极轴的极坐标系中.曲线C1:ρ=4cosθ．直线l与曲线C1相切．(1)将曲线C1的极坐标方程化为直角坐标方程.并求α的� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网——

题目内容

17．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=1+tcosα}\\{y=\sqrt{3}+tsinα}\end{array}\right.$（t为参数），其中0≤α＜π．在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C₁：ρ=4cosθ．直线l与曲线C₁相切．
（1）将曲线C₁的极坐标方程化为直角坐标方程，并求α的值．
（2）已知点Q（2，0），直线l与曲线C₂：x²+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1交于A，B两点，求△ABQ的面积．

分析（1）曲线C₁：ρ=4cosθ，即ρ²=4ρcosθ，把ρ²=x²+y²，x=ρcosθ代入可得C的直角坐标方程，利用直线l与曲线C₁相切求α的值．
（2）直线l的方程为y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，代入曲线C₂：x²+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1，整理可得10x²+4x-5=0，求出|AB|，Q到直线的距离，即可求△ABQ的面积．

解答解：（1）曲线C₁：ρ=4cosθ，即ρ²=4ρcosθ，化为直角坐标方程：x²+y²=4x，配方为C₁：（x-2）²+y²=4，可得圆心（2，0），半径r=2
直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=1+tcosα}\\{y=\sqrt{3}+tsinα}\end{array}\right.$（t为参数），其中0≤α＜π，普通方程为y-$\sqrt{3}$=k（x-1），k=tanα，0≤α＜π，
∵直线l与曲线C₁相切，∴$\frac{|k+\sqrt{3}|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=2，∴k=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，∴α=$\frac{π}{6}$；
（2）直线l的方程为y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，代入曲线C₂：x²+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1，整理可得10x²+4x-5=0，
∴|AB|=$\sqrt{1+\frac{1}{3}}•\sqrt{（-\frac{2}{5}）^{2}-4×（-\frac{1}{2}）}$=$\frac{6\sqrt{2}}{5}$，
Q到直线的距离d=$\frac{\frac{4\sqrt{3}}{3}}{\sqrt{\frac{1}{3}+1}}$=2，
∴△ABQ的面积S=$\frac{1}{2}×\frac{6\sqrt{2}}{5}×2$=$\frac{6\sqrt{2}}{5}$．

点评本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、点到直线的距离公式、直线与椭圆相交弦长公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

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